はじめに

放送大学の微分方程式の講義を受講している。放送大学の微分方程式のテキストの第2章「変数分離系」の演習問題で、例題を参考にして解けない演習があるように見えた。しかも、解答には計算結果しかなく、計算結果がどのように導出されたか不明であった。

部分分数分解して原始関数が求まる形に式変形すれば簡単に解けるのだが、気付くのに時間がかかってしまった。放送大学は1講義について5回までしか講師に質問できないので、自分と同じ疑問で他の人が質問回数を減らさないで済むように計算結果の導出過程を残しておく。

演習問題

演習問題 2(2)

問題

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x+y)^2}$

導出過程

$u = x + y$ とおけば、両辺を $x$ についての微分して $\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ を得る。また、問題の式を $u$ で置換し、以下の式を得る。

$\displaystyle \frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{u^2}$

この式は $u$ と $x$ の変数分離系の微分方程式であるから、一般解は $C$ を任意定数として、

$\displaystyle \int^{}_{}\frac{1}{1+\frac{1}{u^2}}du = \int^{}_{}1dx + C$

で求めることができる。

左辺については、以下のように部分分数分解して解を求めることができる。

$\displaystyle \int^{}_{}\frac{1}{1+\frac{1}{u^2}}du = \int^{}_{}\frac{u^2}{1+u^2}du \\ = \int^{}_{}\frac{1+u^2}{1+u^2}du - \int^{}_{}\frac{1}{1+u^2}du \\ = \int^{}_{}1du - \int^{}_{}\frac{1}{1+u^2}du \\ = u - \tan^{-1}u \\ = (x + y) - \tan^{-1}(x+y)$

右辺については、以下のように解を求めることができる。

$\displaystyle \int^{}_{}1dx + C = x + C$

以上から、解は $y - \tan^{-1}(x+y) = C$ となる(演習問題の解答と同じ)。

演習問題 3

問題

$\displaystyle (x^2-y^2)\frac{dy}{dx}-2xy = 0$

つまり、

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{(x^2-y^2)}$

導出過程

$u = \frac{y}{x}$ とおけば、両辺を $x$ についての微分して $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$ を得る。

また、問題の式を $u$ で置換し、以下の式を得る。

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2u}{1-u^2}$

上記の式の右辺を $f(u)$ とし、 $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$ から以下の式が得られる。

$\displaystyle f(u)= u + x\frac{du}{dx}$

この式を変換すると、以下の式が得られる。

$\displaystyle \frac{f(u) - u}{x} = \frac{du}{dx}$

この式は $u$ と $x$ の変数分離系の微分方程式であるから、一般解は $C^{\prime}$ を任意定数として、

$\displaystyle \int^{}_{}\frac{1}{f(u)-u}du = \int^{}_{}\frac{1}{x}dx + C^{\prime}$

で求めることができる。

左辺は以下のように部分分数分解して、不定積分を求めることができる。

$\displaystyle \int^{}_{}\frac{1}{f(u)-u}du = -\int^{}_{}\frac{u^2-1}{u^3+u}du \\ = -\int^{}_{}\frac{u^2-1}{u(u^2+1)}du \\ = -\int^{}_{}(\frac{-1}{u} + \frac{2u}{u^2+1})du \\ = \int^{}_{}(\frac{1}{u} - \frac{2u}{u^2+1})du \\ = \log|u| - \log|u^2+1| \\ = \log|\frac{u}{u^2+1}|$